Глава IX. Несобственные интегралы

При введении понятия определённого интеграла предполагаются следующие условия: 1) отрезок интегрирования [a,b] является конечным; 2) подынтегральная функция – ограниченная на отрезке интегрирования. В этом случае определённый интеграл называется собственным. Если хотя бы одно из указанных условий нарушается, то интеграл называется несобственным. Несобственный интеграл является обобщением понятия определённого интеграла.

9.1. Несобственные интегралы I рода (по бесконечному промежутку)

Определение 9.1.

Если функция непрерывна на отрезке [a, b], то для любых х [a, b] определена функция:, которая называется интегралом с переменным верхним пределом.

Определение 9.2.

Пусть функция определена на промежутке и для любого А≥а существует интеграл с переменным верхним пределом, тогда несобственным интегралом I рода от функции f(x) на промежутке [a,+∞] называется предел .

Обозначение: _.

При этом говорят, что несобственный интеграл сходится, если этот предел конечный и расходится, если этот предел не существует либо равен бесконечности.

На полупрямой (-∞, b] несобственный интеграл определяется так:

.

Замечание 9.1.

Аналогично определяется несобственный интеграл при

независимом стремлении А₁→ -∞, А₂→ +∞.

Если для некоторого числа a сходится каждый из интегралов,

, то сходится интеграл и имеет место равенство

.

Пример 9.1.

Исследуем на сходимость несобственный интеграл .

.

Переходя к пределу, получим,

Откуда следует, что сходится при и расходится при .

Пример 9.2.

Исследуем на сходимость несобственный интеграл .

, то есть интеграл сходится.