Основные определения и примеры

Определение 10.1.

Пусть дана последовательность вещественных чисел u₁, u₂, …, u_n, … Выражение вида u₁ + u₂ + … + u_n + … = называется числовым рядом.

Числа u₁, u₂, …, u_n, … называются членами ряда, u_n – n-м или общим членом ряда.

Сумма n первых членов ряда называется n-й частичной суммой и обозначается символом S_n = u₁, u₂, …, u_n.

Определение 10.2.

Если для последовательности S₁, S₂, …, S_n, … частных сумм существует конечный предел S = , то ряд называется сходящимся, а число S – суммой данного ряда. В этом случае пишут .

В противном случае ряд называется расходящимся.

Определение 10.3.

Ряд, полученный из исходного ряда отбрасыванием первых m членов, называется его остатком и обозначается = u_m+1 + u_m+2 + … + u_m+n + …

Теорема 10.1.

Ряд сходится или расходится вместе со своим остатком .

Пример 10.1.

Исследуем сходимость ряда .

Частичные суммы ряда составляют последовательность 1, 0, 1, 0 …, которая разбивается на две подпоследовательности, сходящиеся к разным пределам:

,

Таким образом, последовательность частичных сумм не имеет предела и ряд расходится.

Пример 10.2.

Исследуем сходимость ряда .

Так как члены ряда составляют геометрическую прогрессию, частичная сумма вычисляется по формуле S_n = .

Найдем предел = .

Следовательно, ряд сходится при < 1, и расходится при ≥ 1.