![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Определение 11.1.
Ряд , членами которого являются функции от x, определённые на множестве D, называется функциональным рядом.
Если числовой ряд сходится при
, то x0 называется точкойсходимости ряда.
Множество Х всех точек сходимости ряда называется областью сходимости ряда.
Определение 11.2.
Если для любого существует предел
, где
- частные суммы ряда, то говорят, что ряд сходится на множестве X к S(x). При этом функция S(x) называется суммой ряда
.
Для нахождения области сходимости ряда можно использовать эталонные ряды и достаточные признаки сходимости числовых рядов.
Пример 11.1.
Найдём область сходимости ряда .
Данный ряд представляет собой обобщенный гармонический ряд, который сходится при x>1 и расходится при x≤1. Областью X сходимости ряда является интервал (1; + ∞).
Пример 11.2.
Найдем область сходимости ряда .
Данный ряд является геометрической прогрессией с q = lnx, которая сходится, если |q| = |lnx| < 1, откуда . Область X сходимости ряда – интервал
.
Пример 11.3.
Найдем область сходимости ряда .
Для нахождения области сходимости данного ряда используем признак Даламбера, который применим лишь к рядам с положительными членами. Составим ряд из абсолютных величин членов данного ряда:
и к нему применим признак Даламбера (теорема 10.6).
Имеем .
Ряд будет сходиться, если
, откуда -2<x+2<2 или
-4<x<0.
Тогда исходный ряд будет сходиться, и притом абсолютно в интервале
(-4,0).
При этот ряд расходится, как не удовлетворяющий необходимому признаку сходимости (q>1) (следствие к теореме 10.2).
Если q=1, то ответа о сходимости ряда признак Даламбера не дает и при x=-4 и x=0 ряд нужно исследовать особо.
При x=-4 из исходного ряда получим числовой ряд =
, который сходится как ряд Лейбница (см. пример 10.15).
При х = 0 из ряда получим
, который является гармоническим рядом, а значит, расходится (см. пример 10.4.).
Итак, областью Х сходимости ряда будет промежуток [-4;0).
Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 239 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!