Основные определения и примеры. Ряд , членами которого являются функции от x, определённые на множестве D, называется функциональным рядом

Определение 11.1.

Ряд , членами которого являются функции от x, определённые на множестве D, называется функциональным рядом.

Если числовой ряд сходится при , то x₀ называется точкойсходимости ряда.

Множество Х всех точек сходимости ряда называется областью сходимости ряда.

Определение 11.2.

Если для любого существует предел , где - частные суммы ряда, то говорят, что ряд сходится на множестве X к S(x). При этом функция S(x) называется суммой ряда .

Для нахождения области сходимости ряда можно использовать эталонные ряды и достаточные признаки сходимости числовых рядов.

Пример 11.1.

Найдём область сходимости ряда .

Данный ряд представляет собой обобщенный гармонический ряд, который сходится при x>1 и расходится при x≤1. Областью X сходимости ряда является интервал (1; + ∞).

Пример 11.2.

Найдем область сходимости ряда .

Данный ряд является геометрической прогрессией с q = lnx, которая сходится, если |q| = |lnx| < 1, откуда . Область X сходимости ряда – интервал .

Пример 11.3.

Найдем область сходимости ряда .

Для нахождения области сходимости данного ряда используем признак Даламбера, который применим лишь к рядам с положительными членами. Составим ряд из абсолютных величин членов данного ряда:

и к нему применим признак Даламбера (теорема 10.6).

Имеем .

Ряд будет сходиться, если , откуда -2<x+2<2 или

-4<x<0.

Тогда исходный ряд будет сходиться, и притом абсолютно в интервале

(-4,0).

При этот ряд расходится, как не удовлетворяющий необходимому признаку сходимости (q>1) (следствие к теореме 10.2).

Если q=1, то ответа о сходимости ряда признак Даламбера не дает и при x=-4 и x=0 ряд нужно исследовать особо.

При x=-4 из исходного ряда получим числовой ряд =

, который сходится как ряд Лейбница (см. пример 10.15).

При х = 0 из ряда получим , который является гармоническим рядом, а значит, расходится (см. пример 10.4.).

Итак, областью Х сходимости ряда будет промежуток [-4;0).