![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Пусть даны два несобственных интеграла ,
, подынтегральные функции которых удовлетворяют неравенству
для всех х
[a, +∞). Тогда из сходимости интеграла
следует сходимость интеграла
, а из расходимости интеграла
следует расходимость интеграла
Пример 9.3.
Исследуем на сходимость несобственный интеграл .
Заметим, что для всех хÎ[1,¥]. В силу рассмотренного ранее интеграл
сходится, так как
, значит и исходный интеграл сходится.
Пример 9.4.
Исследуем на сходимость несобственный интеграл
.
Имеем или для всех хÎ[2,¥].
Интеграл расходится, так как
. По признаку сравнения исходный несобственный интеграл также расходится.
2) Признак эквивалентности.
Если существует конечный предел для подынтегральных функций несобственных интегралов
и
, то эти интегралы сходятся или расходятся одновременно.
В частности, эти условия выполняются, если K =1, то есть f(x) и g(x) эквивалентны (f(x) ~ g(x) при х→+∞).
Пример 9.5.
Исследуем на сходимость несобственный интеграл .
Имеем f(x) = .
Несобственный интеграл расходятся, так как α =
< 1, следовательно, расходится и исходный интеграл.
9.4. Несобственные интегралы II рода (от неограниченных функций)
Пусть функция
задана на промежутке [a, b), не ограничена при
и для любого e>0 существует.
Определение 9.3.
Несобственным интегралом II-го рода от функции f(x) на промежутке [a, b) называется.
Обозначение:.
При этом говорят, что несобственный интеграл сходится, если этот предел конечен и расходится, если он не существует или равен бесконечности.
Замечание 9.2.
Рассмотренные свойства и признаки сходимости для несобственных интегралов I рода верны и для несобственных интегралов II рода.
Пример 9.6.
Исследуем на сходимость несобственный интеграл
.
Функция не ограничена при
. Для любого
исходный интеграл по промежутку
является определённым, то есть
.
Рассмотрим исходный несобственный интеграл:
Таким образом, исходный интеграл расходится при α ≥ 1 и сходится при .
Замечание 9.3.
Аналогично, если функция f(x) задана на промежутке (a, b] и не ограничена при х→а, то .
Если функция не ограничена в некоторой промежуточной точке
, то несобственный интеграл
.
Пример 9.7.
Исследовать на сходимость несобственный интеграл.
Заметим, что подынтегральная функция является неограниченной при x= 0. Тогда данный интеграл распадается на два несобственных интеграла:
Поскольку каждый из пределов равен бесконечности, исходный интеграл будет расходиться.
Пример 9.8.
Исследуем на сходимость интеграл.
Для данного интеграла применим признак эквивалентности. Подынтегральная функция не задана в точке х = 0.
Имеем f(x) =
По признаку эквивалентности два несобственных интеграла..и
сходятся или расходятся одновременно. Интеграл является сходящимся, так как здесь , а значит, исходный интеграл сходится.
Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 245 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!