Признак сравнения

Пусть даны два несобственных интеграла , , подынтегральные функции которых удовлетворяют неравенству для всех х [a, +∞). Тогда из сходимости интеграла следует сходимость интеграла , а из расходимости интеграла следует расходимость интеграла

Пример 9.3.

Исследуем на сходимость несобственный интеграл .

Заметим, что для всех хÎ[1,¥]. В силу рассмотренного ранее интеграл сходится, так как , значит и исходный интеграл сходится.

Пример 9.4.

Исследуем на сходимость несобственный интеграл .

Имеем или для всех хÎ[2,¥].

Интеграл расходится, так как . По признаку сравнения исходный несобственный интеграл также расходится.

2) Признак эквивалентности.

Если существует конечный предел для подынтегральных функций несобственных интегралов и , то эти интегралы сходятся или расходятся одновременно.

В частности, эти условия выполняются, если K =1, то есть f(x) и g(x) эквивалентны (f(x) ~ g(x) при х→+∞).

Пример 9.5.

Исследуем на сходимость несобственный интеграл .

Имеем f(x) = .

Несобственный интеграл расходятся, так как α = < 1, следовательно, расходится и исходный интеграл.

9.4. Несобственные интегралы II рода (от неограниченных функций)

Пусть функция задана на промежутке [a, b), не ограничена при и для любого e>0 существует.

Определение 9.3.

Несобственным интегралом II-го рода от функции f(x) на промежутке [a, b) называется.

Обозначение:.

При этом говорят, что несобственный интеграл сходится, если этот предел конечен и расходится, если он не существует или равен бесконечности.

Замечание 9.2.

Рассмотренные свойства и признаки сходимости для несобственных интегралов I рода верны и для несобственных интегралов II рода.

Пример 9.6.

Исследуем на сходимость несобственный интеграл .

Функция не ограничена при . Для любого исходный интеграл по промежутку является определённым, то есть

.

Рассмотрим исходный несобственный интеграл:

Таким образом, исходный интеграл расходится при α ≥ 1 и сходится при .

Замечание 9.3.

Аналогично, если функция f(x) задана на промежутке (a, b] и не ограничена при х→а, то .

Если функция не ограничена в некоторой промежуточной точке , то несобственный интеграл

.

Пример 9.7.

Исследовать на сходимость несобственный интеграл.

Заметим, что подынтегральная функция является неограниченной при x= 0. Тогда данный интеграл распадается на два несобственных интеграла:

Поскольку каждый из пределов равен бесконечности, исходный интеграл будет расходиться.

Пример 9.8.

Исследуем на сходимость интеграл.

Для данного интеграла применим признак эквивалентности. Подынтегральная функция не задана в точке х = 0.

Имеем f(x) =

По признаку эквивалентности два несобственных интеграла..и

сходятся или расходятся одновременно. Интеграл является сходящимся, так как здесь , а значит, исходный интеграл сходится.