Необходимый признак сходимости числового ряда. Операции над числовыми рядами

Теорема 10.2.

Если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю, то есть

Следствие

Если, то ряд расходится.

Пример 10.3.

Исследуем сходимость ряда .

Найдем: (в числителе стоит показательная функция от n, которая растет быстрее, чем n), таким образом, ряд расходится.

Пример 10.4.

Исследуем сходимость гармонического ряда .

Имеем , однако гармонический ряд расходится. Действительно, если предположить, что он сходится и его сумма равна S, то .

С другой стороны S_2n – S_n =

, откуда .

Получили противоречие, следовательно, гармонический ряд расходится.

Теорема 10.3.

Если сходятся ряды , , то сходятся ряды и (c – постоянная величина).

При этом, = + , = .