Степенные ряды. Свойства степенных рядов

Определение 11.3.

Степенным рядом называется функциональный ряд вида

, то есть ряд, членами которого являются степенные функции .

Числа с_n / R называются коэффициентами степенного ряда, х ₀ – центром степенного ряда.

Облостью Х сходимости степенного ряда является промежуток с центром в точке х ₀. При этом промежуток может быть открытым, полуоткрытым или замкнутым, то есть иметь вид (х ₀ – R_, х ₀ + R), [ х ₀ – R, х ₀+ R] соответственно (см. также пример 11.3). Число R называется радиусом сходимости степенного ряда.

Если степенной ряд сходится только в точке х ₀, то считают, что R = 0, если же ряд сходится не всей числовой прямой, то считают, что R = +∞.

В примере 11.3 был рассмотрен степенной ряд с центром х ₀ = -2. Областью Х сходимости ряда является полуоткрытый промежуток [-4; 0). Радиус сходимости данного степенного ряда равен 2.

Теорема 11.1.

Степенной ряд можно почленно дифференцировать в каждой точке x его промежутка сходимости сколько угодно раз, при этом радиус сходимости ряда не меняется.

Теорема 11.2.

Степенной ряд можно почленно интегрировать на любом отрезке, содержащемся в промежутке сходимости.

Пример 11.4.

Найдем сумму ряда .

Обозначим сумму этого ряда через S(x), то есть

S(x) = .

Легко показать, что промежуток сходимости этого ряда (-1;1). На основании теоремы 11.1 его можно почленно дифференцировать в каждой точке промежутка (-1;1): .

Справа в этом равенстве сумма геометрической прогрессии.

Если |q|=|x|<1, то , откуда . Зная, что S(0)=0, получим 0=-ln(1-0)+c, откуда c=0, S(x)=-ln(1-x).

Пример 11.5.

Найдем сумму ряда 1-3x²+5x⁴-…+(-1)^n-1(2n-1)x^2n-2+….

Обозначим сумму ряда через S(x),то есть

S(x)= 1-3x²+5x⁴-…+(-1)^n-1(2n-1)x^2n-2+….

Этот ряд сходится на промежутке (-1;1).

На основании теоремы 11.2 его можно почленно интегрировать на любом отрезке [0;x] (-1;1).

.

Сумма последнего ряда есть сумма геометрической прогрессии, для которой q = -x².

Таким образом .

Продифференцируем обе части этого равенства: , тогда имеем , откуда

1 -3x²+5x⁴-…+(-1)^n-1(2n-1)x^2n-2+…= .