Вычисление длины дуги плоской кривой

а) Длина дуги кривой в прямоугольных координатах.

Длина дуги гладкой кривой , содержащейся между двумя точками с абсциссами и , (а < b), равна.

Пример 8.7.

Найдем длину дуги астроиды (рис. 8.9).

Дифференцируя уравнение астроиды, получим:.

	рис.8.9.

Поэтому для длины дуги одной четверти астроиды имеем

. (ед. длины), откуда (ед. длины).

б) Длина дуги кривой, заданной параметрически.

Если кривая задана параметрически уравнениями: и tÎ[t1,t2] ( и – непрерывны вместе со своими производными), то длина дуги кривой равна, где – значения параметра, соответствующие концам дуги.

Пример 8.8.

Найти длину одной арки циклоиды (рис. 8.10).

Одной арке циклоиды соответствует изменение параметра t от 0 до 2p. Имеем x'(t) = a(1-cos t) и y'(t) = a sin t, откуда

(ед. длины).