Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
а) Если непрерывная кривая задана в прямоугольных координатах уравнением (), то площадь криволинейной трапеции D, ограниченной этой кривой, двумя вертикальными прямыми , и осью Ox (рис. 8.1), определяется формулой.
Пример 8.1.
Вычислим площадь плоской фигуры, ограниченной параболой , прямыми и и осью Ох (рис. 8.2).
Искомая площадь выражается интегралом (кв.ед.)
Пример 8.2.
Вычислим площадь плоской фигуры, ограниченную кривой и осью Oy (рис. 8.3).
|
| |||||
|
|
б) В более общем случае, если фигура D ограничена двумя непрерывными кривыми и и двумя вертикальными прямыми , , где при (рис. 8.4), будем иметь . Пример 8.3.
Вычислим площадь фигуры D, заключённую между кривыми и (рис.8.5).
|
|
Решая совместно систему уравнений , находим абсциссы точек пересечения данных кривых: и . В силу формулы получим
(кв.ед.).
в) Если кривая задана параметрическими уравнениями х = j(t), у = ψ(t), t [t1, t2], то площадь плоской фигуры D, ограниченной этой кривой, выражается интегралом.
Пример 8.4.
Найдем площадь, ограниченную эллипсом, используя его параметрические уравнения: x = a cos t, y = b sin t, t Î[0,2p].
Ввиду симметрии достаточно вычислить одну четверть площадь фигуры D (рис.8.6).
Полагая в уравнении сначала , а затем , получим пределы интегрирования.
(кв. ед.)
|
а) Объём тела, образованного вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной кривой, заданной уравнением , где –непрерывная однозначная функция на , осью и прямыми , вычисляется по формуле.
б) Объём тела, образованного вращением вокруг оси Оу криволинейной трапеции, ограниченной кривой, заданной уравнением , где х(у) – однозначная непрерывная функция на , осью и прямыми , , вычисляется по формуле.
Пример 8.5.
|
|
|
Имеем (куб.ед.).
б) В более общем случае объём тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной осью и линиями , , , , где – непрерывные неотрицательные функции (), равен.
Пример 8.6.
Найдем объём тора, образованного вращением круга вокруг оси (рис. 8.8).
|
Имеем и .
Таким образом, =
=2 (куб.ед.)
Последний интеграл берётся подстановкой: .
Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 307 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!