Производные и дифференциалы высших порядков. Пусть функция f(x) дифференцируема на промежутке Х

Определение 3.8.

Пусть функция f(x) дифференцируема на промежутке Х. Если f'(x) имеет

производную в точке х Х, то эта производная называется производной второго порядка или второй производной функции f(x) в точке х.

Обозначение: f''(x) = (f'(x))'.

(Другие обозначения: у'', ).

Аналогично можно ввести понятия производных третьего, четвертого, пятого порядков и т.д.

Производные начиная со второй называются производными высших порядков и обозначаются f''(x), f'''(x), f ⁽⁴⁾(x), f ⁽⁵⁾(x),…, f ⁽ⁿ⁾(x)… или у'', у''', у⁽⁴⁾, у⁽⁵⁾,…, у⁽ⁿ⁾,….

Производная n- го порядка в точке х определяется, таким образом, как производная от производной (n-1)- го порядка, то есть f ⁽ⁿ⁾(x)= (f ^(n-1)(x))'.

Пример 3.10.

Найдем производные первых трех порядков функции у = 4х³ - 3х² + 2х – 5. Последовательным дифференцированием получаем у' = 12х² - 6х + 2, у'' = 24х - 6, у''' = 24.

Пример 3.11.

Найдем производную n -го порядка функции y = sin x. Имеем

у'=cos x= sin (x+ ),

у'' = cos (x+ )= sin (x+2 ),

у''' = cos (x+2 )= sin (x+3 ),

у⁽⁴⁾ = cos (x+3 )= sin (x+4 ), ….

Используя метод математической индукции, получим у⁽ⁿ⁾ = cos (x+(n-1) )= sin (x+n ).

Определение 3.9.

Пусть функция f(x) дифференцируема на промежутке Х. Рассмотрим дифференциал df(x) = f'(x) Δ x как функцию от х, считая Δ x постоянным.

Если функция f'(x) Δ x дифференцируема в точке х, то дифференциал этой функции в той же точке называется дифференциалом второго порядка функции f(x) в точке х.

Обозначение: d²f(x) = d(df(x)).

(Другое обозначение: d²y).

Аналогично определяются дифференциалы третьего, четвертого, пятого порядков и т.д. Они обозначаются символами d³f(x), d⁴f(x), d⁵f(x),…, dⁿf(x),… или d³y, d⁴y, d⁵y,…, dⁿy, ….

Замечание 3.3.

Можно показать, что для дефференциала произвольного n-го порядка имеет место формула dⁿf(x) = f⁽ⁿ⁾(x)(Δ x)ⁿ или по-другому dⁿf(x) = f⁽ⁿ⁾(x)(dx)ⁿ = f⁽ⁿ⁾(x)dxⁿ.