Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Производная функции в точке. Односторонние производные



Определение 3.1.

Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х0. Если существует конечный предел , то он называется производной функции f(x) в точке х0.

Обозначение: f'(x0)= .

(Другие обозначения: у'(х0), ).

Выражение называется приращением функции f(x) в точке х0 и обозначается Δ у. Таким образом, f'(x0)= .

Замечание 3.1.

Отметим, что производная f'(x0) есть число. Если же производная функции f(x) существует для всех точек некоторого промежутка Х, то сопоставив каждой точке х0 Х значение f'(x0), получим функцию, которая называется производной функции f'(x) и обозначается f'(x) или у'.

Пример 3.1.

Найдем по определению производную функции f(x) = sin x. Пусть х0 – произвольное вещественное число.

.

Таким образом, sin'(x0) = cos x0. В силу произвольного выбора числа х0 имеем (sinx)' = cos x для всех х / R.

Пример 3.2. (механический смысл производной).

Пусть прямолинейное движение материальной точки описывается уравнением s = s(t), где s(t) - функция перемещения.

Для нахождения скорости движения точки в момент времени t0 найдем среднюю скорость точки на промежутке времени от t0 до t0+ Δ t: νср. =

В случае неравномерного движения, чем меньше Δ t, тем точнее средняя скорость характеризует скорость ν(t0) в момент времени t0. Поэтому скорость ν(t0) логично считать равной пределу, к которому стремится средняя скорость, когда Δ t→0, то есть ν(t0) = .

Следовательно, если в точке t0 существует производная s'(t0), то ν(t0)= s'(t0).

Таким образом, скорость прямолинейно движущейся точки равна производной функции перемещения по времени.

Определение 3.2.

Если функция f(x) определена в левой полуокрестности точки х0 и существует конечный предел , то этот предел называется левой производной функции f(x) в точке х0.

Обозначение: f_'(x0)= .

Аналогично определяется правая производная функции f(x) в точке х0.

Обозначение: f+'(x0)= .

Теорема 3.1. (о равенстве односторонних производных).

Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х0. Для того, чтобы функция f(x) имела в точке х0 производную f'(x0) необходимо и достаточно существования и равенства в этой точке левой и правой производных, при этом f_'(x0) = f+'(x0)= f'(x0).

Пример 3.3.

Рассмотрим функцию f(x) = Найдем односторонние производные этой функции в точке х0 = 0:

Поскольку f_'( 0 )≠ f+'( 0 ), то по теореме 3.1 у функции f(x)= не существует производной в точке (x0)= 0.

Определение 3.3.

1. Функция f(x) называется дифференцируемой в точке х0, если в этой точке существует производная f'(x0).

2. Функция f(x) называется дифференцируемой на интервале (a, b), если она дифференцируема в каждой точке этого интервала.

3. Функция f(x) называется дифференцируемой на отрезке [a, b], если она дифференцируема на интервале (a, b) и в точках a, b имеет односторонние производные f+'(a) и f_'(b) соответственно.

Теорема 3.2. (о связи непрерывности и дифференцируемости функции).

Если функция f(x) дифференцируема в точке х0, то она непрерывна в этой точке. Обратное, вообще говоря, невидно. Например, легко показать, что функция f(x)= непрерывна в точке х0=0 (см. также рис.1.5.), однако в этой точке данная функция не является дифференцируемой.





Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 579 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2024 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.008 с)...