Основные теоремы дифференциального исчисления

Теорема 4.1. (Ферма́).

Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х₀ и дифференцируема в этой точке. Если функция f(x) принимает в точке х₀ наименьшее или наибольшее значение, то f'(х₀) = 0.

Теорема 4.2. (Ролля)

Если функция f(x) удовлетворяет условиям:

1) определена и непрерывна на отрезке [a, b],

2) дифференцируема на интервале (a, b),

3) f(а) = f(b),

то существует хотя бы одна точка с (a, b) такая, что f'(с) = 0.

Замечание 4.1. (геометрический смысл теоремы Ролля).

Если для функции f(x) выполнены условия теоремы Ролля, то на кривой у= f(x) найдется по крайней мере одна точка М ₀ (с, f(с)), касательная в которой к рассматриваемой кривой будет параллельна оси Ох (рис. 4.1).

Теорема 4.3. (Лагранжа).

Пусть функция f(x) удовлетворяет следующим условиям:

1) определена и непрерывна на отрезке [a, b],

2) дифференцируема на интервале (a, b),

тогда существует хотя бы одна точка с (a, b) такая, что f(b) – f(a) = f'(с)(b-a).

Данная формула называется формулой Лагранжа.

Замечание 4.2. (геометрический смысл теоремы Лагранжа).

Перепишем формулу Лагранжа в виде .

В

М0

Формула Лагранжа гарантирует, что на кривой у = f(x) между точками А(a,f(a)) и B(b, f(b)) найдется по крайней мере одна точка М₀(с, f(c)), касательная в которой параллельна секущей АВ (рис.4.2.). Тангенс угла наклона касательной равен .