Дифференциал функции. Теорема 3.6. (о необходимом и достаточном условии дифференцируемости функции)

Теорема 3.6. (о необходимом и достаточном условии дифференцируемости функции).

Рассмотрим в точке х₀ приращение функции f(x), то есть Δ y=f(x₀ + Δx) – f(x₀).

Для того, чтобы функция f(x) была дифференцируема в точке х₀, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось следующее равенство Δ y=А Δ х + о( Δ х), Δ х→0. При этом А = f'(x₀).

Определение 3.6.

Дифференциалом функции f(x) в точке х₀ называется линейная функция f′(x₀)Δx относительно аргумента Δx.

Обозначение: df(x₀) = f′(x₀)Δx.

(Другое обозначение: dy).

Найдем дифференциал функции y = x в произвольной точке х:

dx = (x)′ Δx = Δx.

Таким образом, имеем df(x₀) = f′(x₀)dx или dy = f′(x₀)dx.

Используя понятие дифференциала, можно по-другому записать равенство из теоремы 3.6: Δ y=d Δ х + О( Δ х), Δ х→0 или в развернутом виде f(x₀ + Δ x) – f(x₀)= f'(х₀) Δ х + О( Δ х), Δ х→0.

Замечание 3.2. (о приближенном вычислении значения функции).

Отбросив в последнем равенстве слагаемое О( Δ х), то есть заменяя приращение функции ее дифференциалом, получим приближенное равенство f(x₀+ Δ x) ≈ f(x₀) + f'(x₀) Δ х. Его используют для вычисления приближенного значения f(x₀ + Δx) при малых Δ х, если известны значения f(x₀) и f'(x₀).

Пример 3.8.

Вычислим приближенно е ^-0,08. Возьмем число х₀ = 0, близкое к х = -0,08 и такое, что значение функции легко вычисляется, при этом Δ х = -0,08. Кроме того, заметим, что ()' = е^х, следовательно, = = e⁰. Имеем , откуда