Правило Лопиталя. В этом параграфе будет рассмотрен метод, который обычно упрощает раскрытие неопределенностей

В этом параграфе будет рассмотрен метод, который обычно упрощает раскрытие неопределенностей .

Теорема 4.4.

Пусть функции f(x) и g(x) дифференцируемы в некоторой окрестности точки х₀ за исключением возможно самой точки х₀. Кроме того, пусть или , причем g'(x) ≠ 0 в указанной окрестности точки х₀.

Тогда если существует предел (конечный или бесконечный), то существует предел и справедливо следующее равенство .

Эту теорему обычно называют правилом Лопиталя.

Замечание 4.3.

Правило Лопиталя можно применять повторно, если f'(x) и g'(x) удовлетво-

ряют условиям теоремы 4.4, а также в тех случаях, когда х→ ∞.

Пример 4.1. (сравнение роста степенной, показательной и логарифмической функцией).

Используя правило Лопиталя, можно доказать, что = 0 и = 0, если а > 1, p > 0.

Докажем, например, что = 0.

В данном случае имеем неопределенность . Применяя правило Лопиталя, получим .

Таким образом, при , а это значит, что при достаточно больших положительных x справедливы неравенства lnx < x^p < a^x (a>1, p> 0 ).

Пример 4.2.

Вычислим предел .

Будем решать задачу раскрытия неопределённости , используя правило Лопиталя.

Пример 4.3.

Вычислим предел .

В данном случае имеем неопределённость .

. Для вычисления предела показателя степени трижды воспользуемся правилом Лопиталя:

.

Таким образом,