![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
В этом параграфе будет рассмотрен метод, который обычно упрощает раскрытие неопределенностей .
Теорема 4.4.
Пусть функции f(x) и g(x) дифференцируемы в некоторой окрестности точки х0 за исключением возможно самой точки х0. Кроме того, пусть или
, причем g'(x) ≠ 0 в указанной окрестности точки х0.
Тогда если существует предел (конечный или бесконечный), то существует предел
и справедливо следующее равенство
.
Эту теорему обычно называют правилом Лопиталя.
Замечание 4.3.
Правило Лопиталя можно применять повторно, если f'(x) и g'(x) удовлетво-
ряют условиям теоремы 4.4, а также в тех случаях, когда х→ ∞.
Пример 4.1. (сравнение роста степенной, показательной и логарифмической функцией).
Используя правило Лопиталя, можно доказать, что = 0 и
= 0, если а > 1, p > 0.
Докажем, например, что = 0.
В данном случае имеем неопределенность . Применяя правило Лопиталя, получим
.
Таким образом,
при
, а это значит, что при достаточно больших положительных x справедливы неравенства lnx < xp < ax (a>1, p> 0 ).
Пример 4.2.
Вычислим предел .
Будем решать задачу раскрытия неопределённости , используя правило Лопиталя.
Пример 4.3.
Вычислим предел .
В данном случае имеем неопределённость .
. Для вычисления предела показателя степени трижды воспользуемся правилом Лопиталя:
.
Таким образом,
Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 202 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!