Формула Тейлора

Теорема 4.5.

Если функция f(x) n раз дифференцируема в точке x₀, то справедлива формула

Данная формула называется формулой Тейлора для функции f(x) в точке x₀, а многочлен P_n(х) = называется многочленом Тейлора для функции f(x) в точке x₀.

Формула Тейлора является одной из центральных формул математического анализа, поскольку благодаря ей свойства функции f(x) в окрестности точки x₀ можно считать аналогичными свойствам многочлена Тейлора P_n(x).

Замечание 4.4.

Формула Тейлора для функции f(x) в точке x₀ = 0 также называют формулой Маклорена для функции f(x). Она имеет вид

.

Пример 4.4.

Запишем формулу Маклорена для функции f(x)=е^х.

Имеем f⁽ⁿ⁾(x) = е^х при любом n / N, откуда f⁽ⁿ⁾( 0 ) =1. Следовательно,

е^х = .