Геометрический смысл производной

Рассмотрим на плоскости хОу кривую (Г). Возьмем на кривой две точки М₀(х₀, у₀) и М (х₀+Δх, у₀+Δу). Прямую, проходящую через точки М₀ и М, будем называть секущей М₀М.

Определение 3.4.

lкас

у0+Δу

у

М

Касательной к кривой (Г) в точке М₀ называется предельное положение (l_кас) секущей М₀М при условии, что точка М стремится вдоль кривой (Г) к точке М₀ (рис.3.1.).

		рис.3.1.

Пусть кривая (Г) задана уравнением y = f(x) и функция f(x) имеет производную f'(x₀) в точке х₀.

Геометрический смысл производной состоит в том, что производная функции f(x) в точке х₀ равна тангенсу угла наклона к оси Ох касательной, проведенной в точке М₀ (х₀, у₀) к графику функции y = f(x), то есть f'(x₀)=tg α.

Уравнение этой касательной записывается в виде y = f'(x₀)(x-x₀)+y₀. При этом f'(x₀) называется угловым коэффициентом касательной.

Пример 3.4.

Напишем уравнение касательной к графику функции y = sin x в точке с абсциссой х₀ = . Из примера 3.1. известно, что (sin x)' = cos x, следовательно, sin'( ) = cos = . Кроме того, у₀ = sin х₀ = sin = . Таким образом, уравнение искомой касательной имеет вид у = (х - ) + .