Основные правила дифференцирования функций

Теорема 3.3. (об арифметических операциях над дифференцируемыми функциями).

Пусть функции f(x) и g(x) дифференцируемы на промежутке Х, тогда функции сf(x), f(x) + g(x), f(x) g(x), также дифференцируемы на этом промежутке и имеют место следующие формулы:

1) (сf(x))'= сf'(x), где с – некоторая константа;

2) (f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x);

3) (f(x) g(x))' = f'(x) g(x) + f (x) g'(x);

4) ()' =

Теорема 3.4. (о дифференцируемости обратной функции).

Если функция у = f(x) монотонна и дифференцируема на промежутке Х, то обратная к ней функция х = g(y) также монотонна и дифференцируема на промежутке f(Х), при этом g '(x) = , где х Х, у = f(x).

Теорема 3.5. (о дифференцируемости сложной функции).

Пусть функция u = g(x) дифференцируема на промежутке Х, а функция у=f(u) дифференцируема на промежутке U, причем, g(X) U, тогда сложная функция у= f(g(x)) дифференцируема на нектором промежутке Х₁ Х и (f(g(x))′ = f′(g(x))g′(x).

Таблица производных основных элементарных функций

1. (с)' = 0, с – константа.

2. (х^p)' = px^p-1 при всех х и p, при которых имеют смысл как х^p, так и x^p-1.

Частные случаи: (х)' = 1; (х²)' = 2х;  =

3. (а^х)' = а^х lna при а > 0, a≠1.

Частный случай: (е^х)' = е^х.

4. (log_ax)' = при a > 0, a ≠ 1, 0 < x < +∞.

Частный случай: (lnx)′ = , 0 < x < +∞

5. (sin x)' = cos x.

6. (cos x)' = - sin x.

7. (tg x)' = .

8. (ctg x)' = .

9. (arcsin x)' = при -1 < 0 < 1.

10. (arccos x)' = - при -1 < 0 < 1.

11. (arctg x)' = .

12. (arcctg x)' = - .

В формулах, рядом с которыми не приведены ограничения на значение аргумента х, предполагается, что х – любое вещественное число.

Пример 3.5.

Найдем производную функции у = sin x · arctg x + . При нахождении производной будем использовать теорему 3.3 и таблицу производных.

у' = (sin x)' arctg x + sin x (arctg x)' +

.

Пример 3.6.

Найдем производную сложной функции у = tg³x.

Данная функция состоит из внешней функции f(u) = u³ и промежуточного аргумента u = g(x) = tg(x). Так как f'(u) = 3u², u' = g'(x) = , то согласно теореме 3.5 имеем у ' = 3tg²x· = .

Пример 3.7.

Найдем производную сложной функции у = (arcsin x)^x.

На первом этапе решения задачи прологарифмируем обе части данного равенства: ln y = x ·ln arcsin x.

Далее, используя правила дифференцирования сложной функции и произведения функций, получим

откуда у' = у или

у' = (arcsin x)^x .

Такой способ нахождения производной называется логарифмическим дифференцированием.