![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Определение 2.16.
1. Функция f(x) называется непрерывной на интервале (a,b), если она непрерывна в любой его точке.
2. Функция f(x) называется непрерывной на отрезке [а,b], если она непрерывна на интервале (a,b), а также непрерывна справа в точке a и слева в точке b.
Определение 2.17.
Пусть функция f(x) задана на некотором множестве X / R и для любого x
X имеет место неравенство f(x) ≥ f(x1), где x1
X.
Тогда число f(x1) называется наименьшим значением функции f(x) на множестве X.
Если же вычисляется неравенство f(x) ≤ f(x2), где x2 X, то число f(x2) называется наибольшим значением функции f(x) на множестве X.
Теорема 2.16. (теорема Вейерштрасса).
Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то она ограничена на нем и среди ее значений существуют наименьшее m и наибольшее M.
|
Определение 2.18.
Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки x0 за исключением возможно самой точки x0.
Точка x0 называется точкой разрыва функции f(x), если в этой точке функция либо не определена, либо не является непрерывной.
Определение 2.19.
Пусть точка x0 есть точка разрыва функции f(x).
Если существуют конечные односторонние пределы ,
то x0 называется точкой разрыва первого рода.
При этом если , то число h =
называют скачком функции f(x) в точке x0.
Если же , то x0 называют точкой устранимого разрыва.
Полагая,
, получим функцию
непрерывную в точке x 0. В этом случае говорят, что функция f(x) доопределена по непрерывности в точке x0.
Пример 2.23.
Рассмотрим функцию . В точке х0 = 1 она не определена, следовательно, х0 = 1 - точка разрыва.
Имеем , откуда х0 = 1 – точка устранимого разрыва.
|
Доопределим по непрерывности исходную функцию в точке х0 = 1,
Функция непрерывна на всей числовой оси (см. рис.2.8.).
Пример 2.24.
Функция f(x)=[x] имеет бесконечно много точек разрыва первого рода (см. рис. 2.5). В каждую из этих точек данная функция имеет скачок h = 1.
Определение 2.20.
Пусть точка x0 есть точка разрыва функции f(x). Если хотя бы один из односторонних пределов ,
бесконечен или не существует, то x0 называется точкой разрыва второго рода.
Пример 2.25.
Рассмотрим функцию f(x)= . Точка x0 = 0, в которой функция не определена, является точкой разрыва.
Вычислим односторонние пределы
Таким образом, точка x0 = 0 – точка разрыва второго рода.
Схематичный график функции представлен на рис. 2.9.
![]() |
Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 359 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!