Непрерывность функции на промежутке. Точки разрыва функции и их классификация

Определение 2.16.

1. Функция f(x) называется непрерывной на интервале (a,b), если она непрерывна в любой его точке.

2. Функция f(x) называется непрерывной на отрезке [а,b], если она непрерывна на интервале (a,b), а также непрерывна справа в точке a и слева в точке b.

Определение 2.17.

Пусть функция f(x) задана на некотором множестве X / R и для любого x X имеет место неравенство f(x) ≥ f(x₁), где x₁ X.

Тогда число f(x₁) называется наименьшим значением функции f(x) на множестве X.

Если же вычисляется неравенство f(x) ≤ f(x₂), где x₂ X, то число f(x₂) называется наибольшим значением функции f(x) на множестве X.

Теорема 2.16. (теорема Вейерштрасса).

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то она ограничена на нем и среди ее значений существуют наименьшее m и наибольшее M.

Рис. 2.6.

Определение 2.18.

Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки x₀ за исключением возможно самой точки x₀.

Точка x₀ называется точкой разрыва функции f(x), если в этой точке функция либо не определена, либо не является непрерывной.

Определение 2.19.

Пусть точка x₀ есть точка разрыва функции f(x).

Если существуют конечные односторонние пределы , то x₀ называется точкой разрыва первого рода.

При этом если , то число h = называют скачком функции f(x) в точке x₀.

Если же , то x₀ называют точкой устранимого разрыва.

Полагая, , получим функцию непрерывную в точке x ₀. В этом случае говорят, что функция f(x) доопределена по непрерывности в точке x₀.

Пример 2.23.

Рассмотрим функцию . В точке х₀ = 1 она не определена, следовательно, х₀ = 1 - точка разрыва.

Имеем , откуда х₀ = 1 – точка устранимого разрыва.

у

График рассматриваемой функции приведен на рис.2.7

Доопределим по непрерывности исходную функцию в точке х₀ = 1,

Функция непрерывна на всей числовой оси (см. рис.2.8.).

Пример 2.24.

Функция f(x)=[x] имеет бесконечно много точек разрыва первого рода (см. рис. 2.5). В каждую из этих точек данная функция имеет скачок h = 1.

Определение 2.20.

Пусть точка x₀ есть точка разрыва функции f(x). Если хотя бы один из односторонних пределов , бесконечен или не существует, то x₀ называется точкой разрыва второго рода.

Пример 2.25.

Рассмотрим функцию f(x)= . Точка x₀ = 0, в которой функция не определена, является точкой разрыва.

Вычислим односторонние пределы

Таким образом, точка x₀ = 0 – точка разрыва второго рода.

Схематичный график функции представлен на рис. 2.9.