![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Определение 2.14.
Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки . Функция f(x) называется непрерывной в точке
, если
.
В этом определении заключены три требования: 1) функция f(x) определена в точке ; 2) существует
; 3) справедливо равенство
.
Определение 2.15.
Пусть функция f(x) определена в некоторой левой полуокрестности точки . Функция f(x) называется непрерывной слева в точке
, если
.
Аналогично определяется непрерывность справа функции f(x) в точке .
Теорема 2.12.
Для того, чтобы функция f(x) была непрерывной в точке , необходимо и достаточно, чтобы она была в этой точке непрерывна и слева, и справа.
Пример 2.20.
|
В точках, соответствующих целым числам, эта функция непрерывна только справа. В остальных точках, как видно из рис. 2.5, исходная функция непрерывна.
Теорема 2.13. (об арифметических свойствах непрерывных функций).
Если функции f(x) и g(x) непрерывны в точке , то функции f(x) + g(x), f(x)g(x),
также непрерывны в этой точке.
Теорема 2.14. (о непрерывности сложной функции).
Пусть функция u = g(x) непрерывна в точке , а функция y = f(u) непрерывна
в точке , причем
= g(
), тогда сложная функция y = f(g(x)) непрерывна в точке
.
Теорема 2.15. (о непрерывности элементарных функций).
Каждая элементарная функция непрерывна в любой точке из своей области определения, причем в граничных точках (если таковые имеются) она непрерывна слева или справа.
Замечание 2.8.
Непрерывность функций используется при вычислении пределов. Так, если функция f(x) непрерывна в точке , то
, то есть задача отыскания предела свелась к вычислению значения функции в точке
.
При вычислении пределов сложных функций в случае их непрерывности можно переставить местами операции взятия предела и непрерывной функции.
Пример 2.21.
.
Пример 2.22.
Вычислим предел показателя степени, используя эквивалентные замены:
.
Таким образом, .
Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 497 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!