Непрерывность функции в точке. Односторонняя непрерывность

Определение 2.14.

Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки . Функция f(x) называется непрерывной в точке , если .

В этом определении заключены три требования: 1) функция f(x) определена в точке ; 2) существует ; 3) справедливо равенство .

Определение 2.15.

Пусть функция f(x) определена в некоторой левой полуокрестности точки . Функция f(x) называется непрерывной слева в точке , если .

Аналогично определяется непрерывность справа функции f(x) в точке .

Теорема 2.12.

Для того, чтобы функция f(x) была непрерывной в точке , необходимо и достаточно, чтобы она была в этой точке непрерывна и слева, и справа.

Пример 2.20.

у

Рассмотрим функцию f(x) = [x]. Такая функция называется целой частью числа. Каждому числу x она сопоставляет ближайшее целое число, меньшее или равное x.

В точках, соответствующих целым числам, эта функция непрерывна только справа. В остальных точках, как видно из рис. 2.5, исходная функция непрерывна.

Теорема 2.13. (об арифметических свойствах непрерывных функций).

Если функции f(x) и g(x) непрерывны в точке , то функции f(x) + g(x), f(x)g(x), также непрерывны в этой точке.

Теорема 2.14. (о непрерывности сложной функции).

Пусть функция u = g(x) непрерывна в точке , а функция y = f(u) непрерывна

в точке , причем = g(), тогда сложная функция y = f(g(x)) непрерывна в точке .

Теорема 2.15. (о непрерывности элементарных функций).

Каждая элементарная функция непрерывна в любой точке из своей области определения, причем в граничных точках (если таковые имеются) она непрерывна слева или справа.

Замечание 2.8.

Непрерывность функций используется при вычислении пределов. Так, если функция f(x) непрерывна в точке , то , то есть задача отыскания предела свелась к вычислению значения функции в точке .

При вычислении пределов сложных функций в случае их непрерывности можно переставить местами операции взятия предела и непрерывной функции.

Пример 2.21.

.

Пример 2.22.

Вычислим предел показателя степени, используя эквивалентные замены:

.

Таким образом, .