Асимптоты кривой

Определение 2.12.

Прямая х=х₀ называется вертикальной асимптотой кривой y=f(x), если хотя бы один из односторонних пределов , равен +∞ или -∞.

Пример 2.18.

Найти вертикальные асимптоты кривой .

Решение

Будем искать односторонние пределы функции в точке х₀ = 2, то есть в той точке, в которой эта функция не определена.

у

Имеем , следовательно, х = 2 – вертикальная асимптота кривой .

Как видно из рис.2.3., график исходной функции неограниченно приближается к вертикальной асимптоте х = 2 при х→2.

Определение 2.13.

Прямая y = kx + b называется наклонной асимптотой кривой y = f(x) при , если f(x) = kx + b+ , где - бесконечно малая функция при .

Аналогично определяется наклонная асимптота кривой y = f(x) при .

Теорема 2.11. (о наклонных асимптотах кривой).

1. Для того, чтобы прямая y = kx + b являлась асимптотой кривой y = f(x) при , необходимо и достаточно, чтобы одновременно выполнялись условия .

2. Для того, чтобы прямая y = kx + b являлась асимптотой кривой y = f(x) при , необходимо и достаточно, чтобы одновременно выполнялись условия .

Пример 2.19.

Найти наклонные асимптоты кривой y = 2x + arctg x.

Решение

1. Пусть .

(второй предел равен нулю,

поскольку arctg x ~ при x→+∞), . Таким образом, прямая y = 2x + является наклонной асимптотой исходной кривой при x→+ ∞.

2. Теперь рассмотрим x→- ∞.

,

.

Следовательно, прямая y = 2x - является наклонной асимптотой исходной кривой при x→- ∞ (рис.2.4).