![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Определение 2.11.
Пусть функции f(x) и g(x) определены в некоторой окрестности точки х за исключением возможно самой точки х
.
1. Если
, то говорят, что функция f(x) мала по сравнению с функцией g(x) при.
Обозначение: f(x) = о (g(x)), .
2. Если
, то говорят, что функции f(x) и g(x) одного порядка при.
Обозначение: f(x) = О (g(x)), .
3. Если, в частности,
, то функции f(x) и g(x) называют эквивалентными при.
Обозначение: f(x)~ g(x) при .
Пример 2.13.
Доказать, что многочлен эквивалентен своему старшему члену при , то есть
~
при
.
Решение
Таким образом, ~
при
.
Пример 2.14. (таблица эквивалентных бесконечно малых функций).
Используя замечательные пределы и следствия к ним, можно составить следующую таблицу:
sin x ~ x при
tg x ~ x при
arcsin x ~ x при
arctg x ~ x при
ln(1+x) ~ x при
-1 ~ x при
~ px при
.
Теорема 2.9. (о некоторых эквивалентных заменах).
1. Если f(x) ~ f1(x) и g(x) ~ g1(x) при , то при
f(x)g(x) ~ f1(x) g1(x) и
~
.
2. Если f(x) = о (g(x)), при , то при
f(x)+ g(x) ~ g(x).
3. Если f(x) ~ c1 h(x) и g(x) ~ c2h(x) при , то f(x) + g(x) ~ (с1+ с2)h(x) при условии, что с1+ с2 ≠ 0.
4. Если , то f(x) ~ а при
.
Теорема 2.10. (о замене на эквивалентную при вычислении предела отношения).
Пусть f(x) ~ f1(x) и g(x) ~ g1(x) при, тогда
.
Замечание 2.7.
В том случае, когда и
, задача вычисления
называется задачей раскрытия неопределенности
.
Аналогично определяются неопределенности
С помощью теорем 2.9., 2.10. и таблицы эквивалентных бесконечно малых функций можно существенно упростить вычисление пределов, особенно в условиях неопределенности.
Пример 2.15.
Вычислить .
Решение
Поскольку , если
, то из таблицы эквивалентных бесконечно малых функций имеем
~
при
. Аналогично arcsin 4x ~ 4x при
. Заменяя числитель и знаменатель дроби под знаком предела эквивалентными функциями, получим
Пример 2.16.
Вычислить .
Решение
Если , то х-1→0, а значит, можно воспользоваться таблицей эквивалентностей. Имеем
~ х-1 при
, откуда
.
Пример 2.17.
Вычислить .
Решение
Имеем arctg 7x ~ 7x, ln(1+3x) ~ 3x при , откуда
~
~
при
.
Согласно пункту 3 теоремы 2.8. ~
при
.
Таким образом, .
Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 326 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!