Замечательные пределы

Теорема 2.7. (о первом замечательном пределе).

(х выражено в радианах).

Следствия

1.

2.

3.

Пример 2.9.

, где у = 6 х (здесь используется теорема 2.5 о замене переменной при вычислении предела).

Пример 2.10.

Замечание 2.6. (о числе е).

Рассмотрим последовательность . Можно показать, что такая последовательность имеет конечный предел, который обозначается е, то есть

е является иррациональным числом, вычисленным приближенно: .

Показательная функция называется экспоненциональной функцией или экспонентой.

Логарифм положительного числа х, вычисленный по основанию е, называется натуральным логарифмом и обозначается ln x.

Экспонента и натуральный логарифм играют важную роль в математическом анализе и его приложениях.

Теорема 2.8. (о втором замечательном пределе).

Следствия

1.

2.

3.

4. / R.

Пример 2.11.

.

Пример 2.12.

.