Перша чудова границя

Розглянемо границю функції

.

Областю визначення функції

є проміжок .

Функція є парною, бо

,

а це означає, що коли існують односторонні границі цієї функції, то вони співпадають.

Значить, для того, щоб довести, що коли існує границя функції досить довести, що існує якась з односторонніх границь. Нехай .

Y Домовимось також, що виміряється в радіанах.

B Побудуємо у I чверті коло з центром у точці та з радіусом

C . Будемо вважати, що ; .

Розглянемо такі фігури:

; сектор ; .

x Між їх площами існує такий зв’язок:

0 D 1A x

або

.

Звідси

, .

Поділимо усі частини нерівності на .

,

або

.

Припустимо тепер, що .

Тоді

.

За теоремою Гурьева виходить, що

.

Тоді

.

Нарешті

.

Отриманий результат називається першою чудовою границею.

З отриманого результата неважко отримати ще декілька формул, а саме:

.

.

.

.

.

.

.

Приклад.

Знайти границю функції:

.

Розв’язання.

Коли чисельник та знаменник також прямують до нуля. Отже ми маємо справу з невизначенністю .

Для того, щоб її розкрити використаємо першу чудову границю, спростивши спочатку вираз за формулою:

.

.

Приклад.

Знайти границю функції:

.

Розв’язання.

Коли , то чисельник та знаменник також прямують до нуля. Отже знов маємо невизначенність .

Використаємо формулу: .

.

Приклад.

Знайти границю функції:

.

Розв’язання.

Коли , то чисельник і знаменник також прямують до нуля, маємо невизначенність . Скористаємось формулою:

.

.