Теорема. Для того, щоб функція коли мала границю , необхідно та достатньо, щоб для неї у точці

Для того, щоб функція коли мала границю , необхідно та достатньо, щоб для неї у точці існували односторонні границі, кожен з яких дорівнює .

Доведення.

I. Необхідність.

Нехай існує границя функції коли та дорівнює .

.

З означення Коші виходить,що , що для будь якого , яке задовольняє умові:

відповідні значення функції задовольняють умові:

.

Оскільки умова передбачає і умову і умову , то можна стверджувати, що задана функція має як лівосторонню, так і правосторонню границі.

II. Достатність.

Нехай існують односторонні границі функції коли

або . З означень односторонніх границь виходить, що , , що коли , та , то відповідно у кожному з випадків. Нехай . Тоді для , що задовольняють умові:

відповідні значення функції задовольняють умові:

,

звідки і виходить твердження:

.

Приклад.

З’ясувати, чи існує границя функції коли .

Розв’язання.

Нехай . Тоді та , а .

Нехай тепер . Тоді , , а .

Односторонні границі існують, але не співпадають, отже границя функції у точці не існує.