Невизначені вирази

Домовимось нескінченно малі та нескінченно великі послідовності символічно позначати відповідно та .

Тоді з розглянутих раніше властивостей нескінченно малих та нескінченно великих послідовностей виходить, що є слушними такі рівності:

; (при умові, що обидві н.в.п. одного знаку);

; ;

; ;

; ;

; .

Однак залишається відкритим питання про те, чому дорівнюють такі вирази:

; ; ; ; ; ; (при умові, що обидві нескінченно великі послідовності одного знаку).

Такі вирази називаються невизначенностями. Відповісти, чому дорівнює та чи інша невизначеність взагалі неможна. У кожному конкретному випадку доводиться з’ясовувати чому саме дорівнює подана невизначенність і цей процес називається розкриттям невизначенності.

Приклад 9.

Знайти границю послідовності:

.

Розв’язання.

Беручи до уваги, що прямує до нескінченності, робимо висновок, що подана послідовність являє собою невизначенність типу . Розкрити таку невизначенність можна поділивши чисельник та знаменник водночас на у найбільшому степеню.

.

Така відповідь отримана у зв’язку з тим, що коли , то вирази ; ; ; є оберненими до нескінченно великої послідовності, а їх границі дорівнюють нулеві.

Приклад 10.

Знайти границю послідовності:

.

Розв’язання.

.

Таку невизначенність можна розкрити помноживши та поділивши водночас поданий вираз на спряжений поданому. Виходить:

.