Теорема 3

(теорема Гурьева) Якщо послідовність , збіжні і , то послідовність , елементи якої задовольняють умові:

,

теж збіжна, до того ж .

Доведення.

За умовою , збіжні послідовності, отже, , що

,

а також,

, що .

Нехай , тоді:

,

.

Розглянемо нерівність:

,

а також еквивалентну нерівність:

.

Зважаючи на попередні висновки маємо:

,

,

а значить, , що і треба було довести.