Теорема 3. Якщо послідовність збігається, то вона має єдину границю

Якщо послідовність збігається, то вона має єдину границю.

Доведення.

Нехай послідовність збігається та . Покладемо, що існує ще одна границя, яка дорівнює , тобто, що . Тоді, вочевидь, слушні рівності:

,

,

де та -елементи нескінченно малих послідовностей і . Віднімаючи почленно ці рівності, отримаємо:

,

або

.

-н.м.п., виходить, що і теж н.м.п., тобто:

.

Але є стала величина, тому при будь якому , і . Отже, збіжна послідовність має одну границю.