Теорема. (Достатня умова збіжності послідовностей)

(Достатня умова збіжності послідовностей).

Будь-яка обмежена та монотонна послідовність є збіжна послідовність.

Приймемо цю норму без доведення.

Надалі нам доведеться користуватися границею послідовності:

.

Доведемо, що ця послідовність збіжна. Для цього треба переконатись у тому, що дана послідовність 1) монотонна, 2) обмежена.

Розглянемо вираз та перетворимо його за допомогою формули бінома Ньютона.

.

Після спрощення:

(1).

Аналогічно знайдемо :

(2).

Усі доданки у правих частинах рівностей (1) та (2) додатні. Усі доданки правої частини рівності (2), починаючи з третьго, більше відповідних доданків у рівності (1). Виходить, , а це свідчить про те, що послідовність зростаюча. До того ж, , значить, послідовність обмежена зліва. Тепер доведемо, що ця послідовність обмежена і справа за допомогою таких перетворень:

.

Зважаючи на те, що вираз є сумою геометричної прогресії, доходимо висновку, що .

Таким чином, ,

тобто, послідовність обмежена.

Виходить, що вона має границю. Цією границею є ірраціональне число, яке позначається та називається числом Непера.

У інженерних розрахунках використовують логарифми, основою яких є число . Такі логарифми називаються натуральними логарифмами та позначаються символом .