![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
(Достатня умова збіжності послідовностей).
Будь-яка обмежена та монотонна послідовність є збіжна послідовність.
Приймемо цю норму без доведення.
Надалі нам доведеться користуватися границею послідовності:
.
Доведемо, що ця послідовність збіжна. Для цього треба переконатись у тому, що дана послідовність 1) монотонна, 2) обмежена.
Розглянемо вираз та перетворимо його за допомогою формули бінома Ньютона.
.
Після спрощення:
(1).
Аналогічно знайдемо :
(2).
Усі доданки у правих частинах рівностей (1) та (2) додатні. Усі доданки правої частини рівності (2), починаючи з третьго, більше відповідних доданків у рівності (1). Виходить, , а це свідчить про те, що послідовність
зростаюча. До того ж,
, значить, послідовність
обмежена зліва. Тепер доведемо, що ця послідовність обмежена і справа за допомогою таких перетворень:
.
Зважаючи на те, що вираз є сумою геометричної прогресії, доходимо висновку, що
.
Таким чином,
,
тобто, послідовність обмежена.
Виходить, що вона має границю. Цією границею є ірраціональне число, яке позначається та називається числом Непера.
У інженерних розрахунках використовують логарифми, основою яких є число . Такі логарифми називаються натуральними логарифмами та позначаються символом
.
Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 268 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!