Означення функції. Класифікація функцій

Означення.

Множина усіх значень, які може набувати змінна , називається областю зміни цієї змінної.

Означення.

Якщо указаний закон, за яким кожному значенню змінної відповідає певне значення змінної , то змінна називається функцією змінної , при цьому використовується позначення:

або

.

Множина називається областю визначення функції, множина називається областю значення функції, а називається характеристикою функції.

Найбільш поширені способи завдання функції:1) табличний; 2) графічний;

3) аналітичний.

Ознайомимось з класифікацією функцій.

Означення.

Основними елементарними функціями називаються такі аналітично задані функції:

; ;

; ;

; ; ; ; ; ; .

Означення.

Елементарними функціями називаються функції, що можуть бути отримані з основних елементарних функцій за допомогою арифметичних операцій або операції знаходження функції від функції.

Наприклад, функція:

є елементарною функцією, а от функція:

не являється елементарною функцією.

Усі елементарні функції поділяються на алгебраїчні та трансцендентні функції.

Означення.

Функція називається алгебраїчною функцією, якщо її значення можно отримати, виконуючи над незалежною змінною скінченну кількість алгебраїчних дій, таких як додавання, віднімання, множення, ділення та піднесення у степінь з раціональним показником.

Означення.

Функція, що не є алгебраїчною функцією називається трансцендентною функцією.

Наприклад, функція:

є алгебраїчною функцією, а функція:

є трансцендентною функцією, бо до її складу входить множник з ірраціональним показником.

Означення.

Алгебраїчна функція називається ірраціональною функцією, якщо вона не являється раціональною функцією.

Наприклад, функція:

є раціональною функцією, а функція:

є ірраціональною функцією.

Означення.

Функція називається складною функцією, якщо вона може бути утворена за допомогою функцій з областю визначення та областю значень і за областю визначення та областю значень .

Така функція може бути подана у вигляді:

.

При цьому функція

називається внутрішньою функцією, а функція

називається зовнішньою функцією.

Наприклад, функція

є складною функцією. При цьому функція

є зовнішньою функцією, а функція

є внутрішньою функцією.

Означення.

Функція називається парною функцією, якщо 1) її область визначення симетрична відносно початку координат; 2) для будь якого з області визначення є слушною рівність:

.

Графік парної функції симетричний відносно вісі .

Означення.

Функція називається непарною функцією, якщо 1) її область визначення симетрична відносно початку координат; 2) для будь якого з області визначення є слушною рівність:

.

Графік непарної функції симетричен відносно початку координат.

Наприклад, функція:

є парною функцією, а функція:

є непарною функцією.

Означення.

Функція називається періодичною функцією, якщо існує таке додатнє число , що для будь якого з області визначення є слушною рівність:

.

Графік періодичної функції повторюється на кожному проміжутку довжиною з .

Наприклад, функція:

є періодичною функцією і її найменьший період дорівнює .

Означення.

Функція називається оберненою функцією по відношенню до функції , якщо:

1) область визначення функції є областю значень функції ;

2) область значень функції є областю визначення функції ;

3) одному значенню змінної відповідає одне й тільки одне значення змінної .

Якщо функція є оберненою по відношеню до функції , то і функція є оберненою до функції . Функції та називаються взаємно оберненими функціями при цьому слушні рівності:

; .

Графіки функцій та співпадають. Але зважаючи на стандарти домовились у оберненій функції також аргумент позначити через , а функцію через .

Тоді гафіки функцій та вже не співпадають, а симетричні відносно бісектриси I та II координатних кутів.

Означення.

Функція називається обмеженою функцією, якщо існує таке додатьнє число, що для будь якого з області визначення виконується нерівність:

.

Означення.

Функція називається зростаючою функцією, якщо для будь яких значень та з області визначення, де , виконується умова:

,

та спадаючою, якщо:

.

Зростаючі та спадаючі функції називаються монотонними функціями.