Теорема 5. 1) Якщо - нескінченно мала послідовність, то, починаючи з певного

1) Якщо - нескінченно мала послідовність, то, починаючи з певного

номера , визначена послідовність , яка є нескінченно малою.

2) Якщо усі елементи нескінченно малої послідовності відрізняються від нуля, то послідовність є нескінченно велика послідовність.

Доведення.

За умовою, – нескінченно велика послідовність. Оберемо як завгодно велике додатьнє число . Тоді виходить, що починаючи з номера . Вочевидь, що усі елементи цієї послідовності, починаючи з номера , відрізняються від нуля і можна говорити про послідовність . Треба довести, що ця послідовність нескінченно мала. Скористаємось числом .

Уже відомо, що , тоді

,

що і треба було довести. Аналогічно доводиться і друге твердження теореми.