Теорема 4. Добуток обмеженої послідовності на нескінченно малу послідовність також є нескінченно мала послідовність

Добуток обмеженої послідовності на нескінченно малу послідовність також є нескінченно мала послідовність.

Доведення.

Нехай, - обмежена послідовність, а - нескінченно мала послідовність. Значить, існує таке число , що . Виберемо будь-яке як завгодно мале число , для нього існує номер , такий, що при слушна нерівність:

.

Розглянемо послідовність . Візьмемо число та доведемо, що починаючи з певного номера.

.

З цього виходить, що - нескінченно мала послідовність.

Висновок. Добуток скінченного числа нескінченно малих послідовностей є також нескінченно мала послідовність.