Числовые характеристики случайных величин. Начальные и центральные моменты. Асимметрия и эксцесс

Числовые характеристики случайной величины – числа, которые описывают случайную величину суммарно. К числу важных числовых характеристик относятся математическое ожидание – сумма произведений всех ее возможных значений на их вероятности

М(Х)=х1р1 + х2р2 +…+х_n р_n

Чтобы оценить, как рассеяны возможные значения случайной величины вокруг ее математического ожидания, пользуются также числовой хар-кой – дисперсией (математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания D(X)= M[X-M(X)]²).

Для описания системы двух случайных величин также используют другие характеристики

Корреляционный момент (математическое ожидание произведения отклонений этих величин μ_xy=M{[X-M(X)][Y-M(Y)]}) и коэф-т корреляции (отношение корреляционного момента к произведению средн.квадр. отклонений этих величин r_xy= μ_xy/σ_x*σ_y

Начальным моментом к-го порядка случайной величины Х называют математическое ожидание к-й степени этой случайной величины

v_k=M[X^k]

Для дискретной и непрерывной случайной величины v_k [X] вычисляются по формулам соответственно

v_k [X]=∑x^k_i p_i

v_k [X]=∫x^k f(x)dx

Центральным моментом к-го порядка случайной величины Х называют математическое ожидание величины [Х-М(Х)]^к

μ_к=М[Х-М(Х)]^к

Математическое ожидание случайной величины Х если ее первый начальный момент, а дисперсия – второй центральный.

М[Х]=ν₁[Х] D[Х]=μ₂ [Х]

Асимметрией теоретического распределения называют отклонение центрального момента среднего порядка.

А=μ₃/σ³ А>0 где μ₃ – центральный статистический момент третьего порядка

μ₃=∑(x_i – X)³ * m_i /n

Если распределение симметричное то А=0

Эксцесс – величина оцениваемая равенством Е=(μ₄/σ⁴)-3 Е для нормального распределения = 3.

μ₄ – центральный статистический момент четвертого порядка

μ₄=∑(x_i – X)⁴ * m_i /n

Если Е>0 то кривая имеет более высокую и острую вершину

Если Е< 0 то кривая имеет более низкую и плоскую вершину.