Зависимые и независимые СВ. Корреляционный момент и коэффициент корреляции. Коррелированность и независимость

Для того чтобы случайные величины X и Y были независимыми, необходимо и достаточно, чтобы функция распределения системы (X, Y) была равна про­изведению функций распределения составляющих:

F(x,y)=F₁(x)F₂(y).

Необходимость: Пусть X и Y независимы. Тогда события X < х и Y < у независимы, следовательно, вероятность совмещения этих событий равна произведению их вероятностей:

Р(Х < х, Y < у) = Р(Х <х)Р (Y <у), или F(x, y) = F₁(x)F₂(y) Достаточность: Пусть F(x, y) = F₁(x)F₂(y)

Отсюда Р(Х<х, Y<y) = P(X<x)P(Y<y),

т. е. вероятность совмещения событий X < х и У < у равна произведению вероятностей этих событий. Следова­тельно, случайные.величины ХиУ независимы.

Для того чтобы непрерывные случайные величины X и Y были независимыми, необходимой и доста­точно, чтобы плотность совместного распределения си­стемы (X, Y) была равна произведению плотностей рас­пределения составляющих:

f(x, y) =f₁(x)f₂(y)

Для описания системы двух случайных величин кроме математических ожиданий и дисперсий составляю­щих используют и другие характеристики; к их числу относятся корреляционный момент и коэффициент корре­ляции.

Корреляционным моментом μ_xy случайных величин X и Y называют математическое ожидание произведения отклонений этих величин:

μ_xy = M{[X-M(X)][Y-M(Y)]}.

Для дискретной С.В:

Для непрерывной с.в.:

«00

Корреляционный момент служит для характеристики связи между величинами X и Y, есликорреляционный момент равен нулю - X и Y независимы; если корреляционный момент не равен нулю, то X и Y — зависимые случайные вели­чины.

По теореме корреляционный момент двух независимых случайных величин X и Y равен нулю.

Коэффициентом корреляцииr_ху случайных величин X и Y называют отношение корреляционного момента к произведению средних квадратических отклонений этих величин: r_xy=μ_xy/σ_x σ_y - это безразмерная величина.

Для независимых с.в. X и Y: r_xy=0

Коэф. корреляции показывает тесноту линейной связи между значениями X и Y/

По теореме абсолютная величина корреляционного мо­мента двух случайных величин X и Y не превышает сред­него геометрического их дисперсий

Абсолютная величина коэффициента кор­реляции не превышает единицы:

| r_ху | <1

Две с.в. X и Y называются коррелированными если их корреляционный момент и коэф.корреляции отличен от 0; и некоррелированными - если коэф.корреляции равен 0.

Если с.в коррелированны, то они и зависимы, но если две с.в зависимы, то они могут быть как коррелированными, так и некоррелированными. Иначе из коррелированности следует зависимость, но не наоборот. Из независимости следует некоррелированность, но не наоборот.