Неравенство Минковского

Пусть Тогда (6.42)

и (6.43)

Доказательство. Применим неравенства Гельдера и членам правой части тождества

Тогда левая часть будет оценена сверху или снизу в соответствии с неравенствами (6.40), (6.41) величиной

После деления полученных неравенств на приходим к (6.42) и (6.43).Зная условия равенства в неравенствах Гельдера, проверяем, что знак равенства в неравенствах Минковского возможен лишь в случае коллинеарности векторов (), ().

При n = 3 и p = 2 неравенство Минковского (6.42), очевидно, является неравенством треугольника в трехмерномевклидовом пространстве.