Интегрирование по частям в неопределенном интеграле. Теорема 3. Если функции u(x) и v(x) дифференцируемы на некотором промежутке X и на этом промежутке

Теорема 3. Если функции u(x) и v(x) дифференцируемы на некотором промежутке X и на этом промежутке

существует интеграл vdu, то на нем существует и интеграл udv, причем

Доказательство. Пусть функции u(x) и v(x)дифференцируемы на промежутке X. Тогда по правилу дифференцирования произведения для всех точек этого промежутка имеет место равенство d(uv) = vdu + udv и поэтому udv = d(uv) – vdu

Интеграл от каждого слагаемого правой части существует, так как, согласно свойству 2⁰

^{а интеграл vdu существует по условию. Поэтому на основании свойства 4 существует и интеграл udv, причем}

^{Соотношение (2.5) называется формулой интегрирования по частям. С помощью этой формулы отыскание интеграла}

^{udv можно свести к вычислению другого интегралаvdu. Применять ее целесообразно, когда интеграл в правой части}

^{формулы (2.5) более прост для вычисления, чем исходный.}