Выпуклость функции

Определение 1. Функция f(x) называется выпуклой вниз (выпуклой) на интервале (a; b), если для любых x₁ и x₂из

(a; b), a≤x₁<x₂≤b, хорда AB лежит не ниже графика этой функции, где A =(x₁, f(x₁)), B =(x₂, f(x₂)), т.е.

f(x₁+t(x₂−x₁))≤f(x₁)+t·(f(x2) − f(x1)), t ∈ [0; 1]. (5.28)

Определение 2. Функция f(x) называется выпуклой вверх (вогнутой) на интервале (a; b), если для любых x₁ и x₂из

(a; b), a≤x₁<x₂≤b, хорда AB лежит не выше графика этой функции, т.е. если f(x₁+t(x₂−x₁))≥f(x1)+t·(f(x₂ −f(x₁)), t∈[0; 1].

Теорема 18. Непрерывно дифференцируемая функция f(x) выпукла вниз на (a; b) тогда и только тогда, когда для любых x₁ и x₂ из (a; b) выполнено неравенство

f(x₂) ≥f(x₁) + f’(x₁)(x₂ − x₁) (5.29)

Доказательство. Необходимость. Из (5.28) имеем(f(x₁+t(x₂−x₁))−f(x₁))/t≤f(x₂)−f(x₁).

В этом неравенстве перейдём к пределу при t → +0. Получим

lim_t→+0(f(x₁ + t(x₂ − x₁))− f(x₁))/t= lim_t→+0(f(x₁ + t(x₂ − x₁))− f(x₁))/t)*(x₂ − x₁)= f’(x₁)(x₂ − x₁) ≤f(x₂) − f(x₁).

Достаточность. Пусть выполнено условие (5.29). Примем в нём x₁ = x. Тогдаf(x₂) ≥f(x) + f’(x)(x₂ − x). (5.30)

Заменив в (5.30) x₂ на x₁, будем иметьf(x₁)≥f(x)+f’(x)(x₁−x).(5.31)

Умножив обе части неравенства (5.30) на t, а неравенства (5.31) на 1−t и сложив получившиеся при этом неравенства,

Получим

tf(x₂) + (1 − t)f(x1) ≥f(x) + f’(x)·(t(x₂ − x₁) + x₁–x).

Отсюда при x = x₁ + t(x₂ − x₁) получим

f(tx₂ + (1 − t)x₁)≤tf(x₂) + (1 − t)f(x₁), t ∈ [0; 1],т.е. (5.28).

Аналогично доказываются необходимые и достаточные условия выпуклости вверх на интервале непрерывно дифференцируемой функции f(x).

Составим уравнение касательной к графику непрерывно дифференцируемой функции f(x) в точке x1:Y=f(x₁)+f’(x₁)(x−x₁).

Тогда правая часть неравенства (5.29) есть Y (x₂) и, значит, f(x₂) ≥Y (x₂). Отсюда и из теоремы 18 получаем:

Следствие 2. Непрерывно дифференцируемая функция f(x) выпукла вниз на (a; b) тогда и только тогда, когда всеточки (x,f(x)), x∈ (a; b), графика функции f(x) лежат не нижекасательной проведенной к нему в точке (x₁, f(x₁)),x₁∈ (a; b).