![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Определение 3. Точка x0 называется точкой перегиба функции f(x), если при переходе через точку x0 функцияменяет характер выпуклости.
Теорема 20 (необходимое условие точки перегиба). Если функция f(x) имеет непрерывную в точке x0 производную f’’(x) и x0 – точка перегиба, то f’’(x0) = 0.
Доказательство. Если бы в точке перегиба x0 выполнялось неравенство f’’(x0) > 0 или f’’(x0) < 0, то в силу непрерывности f’’(x) существовала бы окрестность точки x0, в которой f’’(x) > 0 или f’’(x) < 0. По теореме 19 в этой окрестности функция была бы выпукла вниз или вверх соответственно, что противоречит наличию перегиба в точке x0.
Из теоремы 20 следует, что точками возможного перегиба функции f(x) могут быть точки x0 в которых f’’(x0) = 0, либо точки, в которых f’’(x) не существует, в частности она бесконечна.
Теорема 21 (первое достаточное условие перегиба). Если функция f(x) дважды непрерывно дифференцируема вокрестности точки x0 и при переходе через точку x0 производная f’’(x) меняет знак, то точка x0 является точкойперегиба функции f(x).
Доказательство. Пусть, к примеру, f’’(x) > 0 при x<x0 и f’’(x)<0 при x>x0. Тогда по теореме 19 функция f(x) выпукла вниз на интервале (x; x0) и выпукла вверх на интервале (x0; x), т.е. x0 – точка перегиба.
Теорема 22 (общее достаточное условие перегиба). Пусть в точке x0 для функции f(x) выполнены условия f’’(x0)=f’’’(x0)=...=f(n−1) (x0)=0
и в точке x0 существует непрерывная производная f (x0), n> 2, причём f (x0) = 0. Если n – нечётное число, тов точке x0 функция f(x) имеет перегиб.
Доказательство. Разлагая f(x) по формуле Тейлора n−1-го порядка с учетом условия получаем
f(x) = f(x0) + f’(x0)(x − x0) + (x − x0)n, (5.32)
где ξ расположена между x0 и x.
Если Y (x) = f(x0) + f’(x0)(x − x0) уравнение касательной к графику функции f(x) в точке (x0, f(x0)), то из (5.32) имеем
f(x) − Y (x) = (x − x0)n, (5.33) где n – нечётное.
В силу непрерывности f(n)(x) в точке x0 существует окрестность этой точки, в которой производная f(n)(x) сохраняет знак, совпадающий со знаком f(n)(x0). Поэтому можем считать, что знаки f(n)(x0) и f(n)(ξ) совпадают. Тогда из равенства (5.33) получаем, что при переходе x через x0 слева направо график функции располагается по разные стороны от касательной, т.е. в точке (x0, f(x0)) имеется перегиб.
Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 285 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!