Экстремум функции

Теорема 14. Пусть x₀ является точкой экстремума функции f(x), определённой в некоторой окрестности точки x₀. Тогда либо производная f’(x₀) не существует, либо f’(x₀) = 0.

Доказательство. Действительно, если x₀ является точкой экстремума для функции f(x), то найдётся такая окрестность V (x₀), что значение функции f(x) в точке x₀ будет наибольшим, или наименьшим на этой окрестности. Поэтому если в точке x₀ существует производная, то она, согласно теореме Ферма равна нулю.

Геометрический смысл теоремы 14 заключается в следующем: в точках экстремума функции f(x) касательная к её графику параллельна оси абсцисс, если существует f’(x₀) = 0; параллельна оси ординат, если f’(x₀) бесконечна; существуют не совпадающие левая и правая касательные, если f’(x₀ − 0) f’(x₀ + 0).Точки, в которых функция y = f(x) определена, а ее производная равна нулю, или не существует, называют критическими. Точки, в которых функция y = f(x) определена, а ее производная равна нулю, называют стационарными.

Теорема 15 (Первый достаточный признак существования экстремума функции). Пусть x₀ - критическая точка непрерывной функции f(x). Если f’(x) при переходе через точку x₀ меняет знак с «+» на «-», то x₀ - точка локального максимума; если f’(x) при переходе через точку x₀ меняет знак с «-» на«+», то x₀ - точка локального минимума; если f’(x) при переходе через точку x₀ не меняет знак, то x₀ не является точкой локального экстремума.

Теорема 16 (Второй достаточный признак существования экстремума функции). Стационарная точка x₀ функции f(x), дважды дифференцируемой в V (x0), является точкой локального минимума если f’’(x₀) > 0, и точкой локального максимума, если f’’(x₀) < 0.

Теорема 17 (Третий достаточный признак существования экстремума функции). Пусть функция f(x) n раз непрерывно дифференцируема в точке x₀ и f’(x₀) = f’’(x₀) =... = f⁽ⁿ⁻¹⁾(x₀) = 0,f⁽ⁿ⁾(x₀) 0. Тогда:

1) если n - чётное и f⁽ⁿ⁾(x₀) < 0, то x₀ - точка локального максимума;

2) если n - чётное и f⁽ⁿ⁾(x₀) > 0, то x₀ - точка локального минимума;

3) если n - нечётное, то x₀ - не является точкой локального экстремума.