Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Экстремум функции



Теорема 14. Пусть x0 является точкой экстремума функции f(x), определённой в некоторой окрестности точки x0. Тогда либо производная f’(x0) не существует, либо f’(x0) = 0.

Доказательство. Действительно, если x0 является точкой экстремума для функции f(x), то найдётся такая окрестность V (x0), что значение функции f(x) в точке x0 будет наибольшим, или наименьшим на этой окрестности. Поэтому если в точке x0 существует производная, то она, согласно теореме Ферма равна нулю.

Геометрический смысл теоремы 14 заключается в следующем: в точках экстремума функции f(x) касательная к её графику параллельна оси абсцисс, если существует f’(x0) = 0; параллельна оси ординат, если f’(x0) бесконечна; существуют не совпадающие левая и правая касательные, если f’(x0 − 0) f’(x0 + 0).Точки, в которых функция y = f(x) определена, а ее производная равна нулю, или не существует, называют критическими. Точки, в которых функция y = f(x) определена, а ее производная равна нулю, называют стационарными.

Теорема 15 (Первый достаточный признак существования экстремума функции). Пусть x0 - критическая точка непрерывной функции f(x). Если f’(x) при переходе через точку x0 меняет знак с «+» на «-», то x0 - точка локального максимума; если f’(x) при переходе через точку x0 меняет знак с «-» на«+», то x0 - точка локального минимума; если f’(x) при переходе через точку x0 не меняет знак, то x0 не является точкой локального экстремума.

Теорема 16 (Второй достаточный признак существования экстремума функции). Стационарная точка x0 функции f(x), дважды дифференцируемой в V (x0), является точкой локального минимума если f’’(x0) > 0, и точкой локального максимума, если f’’(x0) < 0.

Теорема 17 (Третий достаточный признак существования экстремума функции). Пусть функция f(x) n раз непрерывно дифференцируема в точке x0 и f’(x0) = f’’(x0) =... = f(n−1)(x0) = 0,f(n)(x0) 0. Тогда:

1) если n - чётное и f(n)(x0) < 0, то x0 - точка локального максимума;

2) если n - чётное и f(n)(x0) > 0, то x0 - точка локального минимума;

3) если n - нечётное, то x0 - не является точкой локального экстремума.






Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 238 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2024 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.008 с)...