Неравенство Гельдера

Пусть Тогда (6.40)

и (6.41)

В случае p <0 в (6.41) предполагается, что xi >0, i = 1, n.Знак равенства в (6.40) и (6.41) возможен только в случае пропорциональности векторов (), ().

Доказательство. Проверим неравенство (6.40). Пусть

Полагая в (6.38) a = ,b= , получаем

Суммируя эти неравенства по i от 1 до n, получаем это эквивалентно (6.40).

Аналогично из (6.39) получаем (6.41). Поскольку знак равенства в (6.38) и (6.39) возможен лишь при a = b, заключаем, что в (6.40) и (6.41) он возможен лишь при пропорциональности или .