Теорема 19 (достаточное условие выпуклости)

Если f(x) дважды непрерывно дифференцируема на интервале (a; b) и f’’(x)>0, ∀x∈(a;b), то на (a;b) функцияf(x) выпукла вниз.

Еслиf’’(x)<0, ∀x∈(a;b), то на (a;b) функция f(x) выпукла вверх.

Доказательство. Пусть x₁ - любая точка на (a; b). К графику функции f(x) в точке (x₁, f(x₁)) проведём касательнуюY(x)=f(x₁)+f’(x₁)(x−x₁).

Функцию f(x) разложим по формуле Тейлора

f(x) = f(x₁) + f’(x₁)(x − x₁) + + (x − x1)2,где ξ∈ (x1; x).

Рассмотрим разность f(x) − Y (x) = 1/2f’’(ξ)(x − x1)², которая представляет собой разность ординат кривой f(x) икасательной Y (x) в точке x. В силу непрерывности f’’(x), если f’’(x₁) > 0, то и f’’(ξ) > 0 в достаточно малой окрестностиV (x₁) точки x₁, а потому и f(x) − Y (x) > 0, ∀x∈V (x₁).

Аналогично, если f’’(x₁) < 0, то f(x) − Y (x) < 0, ∀x∈V (x₁).

На основании следствия получаем, что в первом случае функция выпукла вниз, во втором - выпукла вверх.