Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Теорема 19 (достаточное условие выпуклости)



Если f(x) дважды непрерывно дифференцируема на интервале (a; b) и f’’(x)>0, ∀x∈(a;b), то на (a;b) функцияf(x) выпукла вниз.

Еслиf’’(x)<0, ∀x∈(a;b), то на (a;b) функция f(x) выпукла вверх.

Доказательство. Пусть x1 - любая точка на (a; b). К графику функции f(x) в точке (x1, f(x1)) проведём касательнуюY(x)=f(x1)+f’(x1)(x−x1).

Функцию f(x) разложим по формуле Тейлора

f(x) = f(x1) + f’(x1)(x − x1) + + (x − x1)2,где ξ∈ (x1; x).

Рассмотрим разность f(x) − Y (x) = 1/2f’’(ξ)(x − x1)2, которая представляет собой разность ординат кривой f(x) икасательной Y (x) в точке x. В силу непрерывности f’’(x), если f’’(x1) > 0, то и f’’(ξ) > 0 в достаточно малой окрестностиV (x1) точки x1, а потому и f(x) − Y (x) > 0, ∀x∈V (x1).

Аналогично, если f’’(x1) < 0, то f(x) − Y (x) < 0, ∀x∈V (x1).

На основании следствия получаем, что в первом случае функция выпукла вниз, во втором - выпукла вверх.






Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 238 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2024 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.011 с)...