Интегрирование простейших рациональных дробей

Рассмотрим функцию f(x) = P(x)/Q(x), где P(x), Q(x) - многочлены с действительными коэффициентами.Рациональная дробь P(x)/Q(x) называется правильной, если либо P(x) - нулевой многочлен, либо его степень меньше степени многочлена Q(x), и неправильной, если степень многочлена P(x) не меньше степени многочлена Q(x).Если рациональная дробь P(x)/Q(x)неправильная, то, разделив числитель на знаменатель по правилу деления многочленов, получим равенство

где R(x), P1(x), Q1(x) - некоторые многочлены, а P1(x)/ Q1(x)- правильная рациональная дробь. Лемма 1. Пусть P(x)/Q(x)- правильная рациональная дробь. Если число a является действительным корнем кратностиα>= 1 многочлена Q(x), т.е.

то существуют действительное число A и многочлен P1(x) с действительными коэффициентами такие, что

где дробь P1(x)/(x−α)^α−1Q₁(x)также является правильной.

Лемма 2. Пусть P(x)/Q(x)- правильная рациональная дробь. Если

то существуют действительные числа M, N и многочлен P₁(x) с действительными коэффициентами такие, что

где дробьP1(x)/(x²+px+q)^β−1Q₁(x) также является правильной.

Теорема 4. Пусть P(x)/Q(x)- правильная рациональная дробь, P(x), Q(x) - многочлены с действительнымикоэффициентами. Если

где a_i - попарно различные действительные корни многочлена Q(x) кратности α_i, i = 1, r, p2_j − 4q_j< 0, j = 1, s, то

существуют действительные числа A_i^(α)i, i = 1, r, α = 1, α_i, M_j^(β), N_j^(β), j = 1, s, β = 1, β_j, такие, что

Рациональные дроби вида A/(x−a)^αA ≠0 и Mx+N/(x²+px+q)^β M² + N²≠0,где a, p, q, A, M и N - действительные числа и ((p2/4)-q)< 0 (корни квадратного трехчлена x²+px+q комплексные), называются элементарными рациональными дробями.Таким образом, теорема утверждает, что всякая ненулевая правильная рациональная дробь может быть разложенана сумму элементарных рациональных дробей.Чтобы найти коэффициенты разложения, чаще всего применяют метод неопределенных коэффициентов и метод

частных значений.