Интегрирование подстановкой в неопределенном интеграле

Теорема 2. Пусть определенные соответственно на числовых промежутках Jx и Jt функции f:Jx → R и ϕ:Jt → R

обладают следующими свойствами: 1) значение ϕ(t) ∈Jx, ∀t∈Jt; 2) на числовом промежутке Jx функция f(x) имеет первообразную F:Jx → R, то есть

3) функция ϕ дифференцируема на Jt.

Тогда на числовом промежутке Jt сложная функция F(ϕ(t)), ∀t∈Jt является первообразной функции f(ϕ(t))ϕ’(t), ∀t∈Jt и

Доказательство. То, что при любом t∈Jt значение ϕ(t) ∈Jx, позволяет говорить о существовании сложных функций f(ϕ(t))и F(ϕ(t))на Jt. Из соотношения (2.2) следует,чтоF’(x) = f(x), ∀x∈Jx. Тогда по правилу дифференцирования

сложной функции

Это означает, что на Jt функция f(ϕ(t))· ϕ’(t) имеет первообразнуюFϕ(t). Отсюда, согласно определению

неопределенного интеграла, следует, что

Поскольку