Односторонние пределы

Определение 5. Число y ₀ называется левосторонним пределом функции y = f (x) в точке x ₀, если для любого ε > 0существует δ > 0, такое, что и обознается .

Определение 6. Число y ₀ называется правосторонним пределом функции y = f(x) в точке x ₀, если для любого ε> 0

существует δ> 0, такое, что ∀x∈Vδ(x ₀ + 0) ⇒ |f(x) − y ₀ | <ε и обозначается .

Теорема 12. Чтобы функция f(x) в точке x0 имела предел, необходимо и достаточно, чтобы она имела оба одно-

сторонних предела равных между собой. Тогда общее значение этих односторонних пределов равно пределу функции

f(x) в точке x ₀.

Док-во: Необходимость. Пусть.

Но тогда имеем, что будет справедливо и

и . Аналогично . Достаточность. Пусть

и

Обозначимδ=min{δ ₁,δ ₂ }. Тогда из –δ< следует, что 0< .т.е или .