Предел функции. Эквивалентность опр.по Коши и по Гейне

Пусть функция f(x) определена в проколотой окрестности точки x0 т.е. на множестве V _δ (x0)= {x: 0 < |x−x0| < δ}. В точке x0 значение f(x0) может быть не определено.

Определение 1 (по Коши, или, на языке «ε − δ»). Число y0 называется пределом функции y = f(x) в точке x0 (или, при x → x0), если для любого ε > 0 можно указать такое число δ = δ(ε) > 0, что при всех x, удовлетворяющих условию 0 < |x − x0| < δ, выполняется неравенство |f(x) − y0| < ε, или:

y ₀ = ⇔∀ε > 0 ∃δ> 0:∀x 0 < |x − x0| < δ ⇒|f(x) − y0| < ε. В определении 1 используются понятия ε-окрестности и проколотой δ-окрестности. Если обозначить

Vε(y0) = {y = f(x): |f(x) − y0| <ε}, V _δ (x0) = {x: 0 < |x − x0| <δ}, тоегократкозаписываютещеввиде y ₀ = ⇔∀ε> 0 ∃δ> 0 ∀x ∈V _δ (x0) ⇒ f(x) ∈ Vε(y0).
Определение 2 (по Гейне, или, на языке последо-вательностей). Число y ₀ называется пределом функции y = f(x) в точке x0 (или, при x → x0), если для любой последовательности точек xn∈V _δ (x₀), сходящейся к x0, последовательность соответствующих значений функции f(x _n) сходится к

y ₀: y ₀ = ⇔∀xn: n=x0⇒ n) = y0.

Докажем эквивалентность определений(1)и(2).

Пусть по коши. Расмотрим{x _n } такую, что x _n → x ₀ при n → ∞. Так как x _n → x ₀ при n → ∞. То , а поэтому и .

Пусть y ₀ есть предел функцииf(x) при x→ x ₀ по Гейне, т.е при n → ∞. Следует, что f(x _n)→y ₀ при n → ∞.

Пусть y ₀ не есть предел функции f(x) при x → x ₀ по Коши. Возьмем , где при этом будем иметь Значит имеем {x _n }такую, что x _n → x ₀ при n → ∞. И кроме того , что противоречит оределение по Гейне.