Подпоследовательность. Теорема Больцано-Вейерштрасса о выделении сходящейсяподпоследовательности

Теорема 6. (Больцано-Вейерштрасса). Из всякой ограниченной последовательности можно извлечь сходящуюсяподпоследовательность. Доказательство. Пусть X – множество значений ограниченной последовательности {x_n}. Если X конечное множество,то тогда очевидно найдется a∈ X который будет повторяться в последовательности бесконечное число раз.Пусть онповторяется под номерами n₁< n₂<... <n_k<... Тогда последовательность {x_nk} постоянна т.к. x_nk = a, ∀k ∈ изначит сходится.

Если X бесконечно, то согласно лемме 5 оно обладает по крайней мере одной предельной точкой a. Поскольку a –предельная точка множества X то можно выбрать n₁∈ так, что |x_n1 − a| <1. Если n_k∈ уже выбрано так, что|x_nk−a| < , то учитывая, что a предельная точка множества X, найдем n_k+1 ∈ так, что n_k< n_k+1 и |x_nk+1−a| < .

Поскольку =0, то построеннаяподпоследовательностьx_n1, x_n2,..., x_nk,... сходится к a.

Замечание 1. Мы имеем, что всякая сходящаяся подпоследовательность ограничена, обратное вообще говоря неверно,например, x_n = (−1)ⁿ. Однако для ограниченной последовательности имеет место указанная выше теорема.