Существование предела монотонной огран. Послед

Определение 2. Последовательность {x_n} называется возрастающей (строго возрастающей) если x_n+1 x_n (x_n+1>x_n) для ∀n ∈ N.Последовательность {x_n} называется убывающей (строго убывающей) если x_n+1 x_n (x_n+1<x_n) для ∀n ∈ N. Определение 3. Возрастающие и убывающие последо-вательности называются монотоннымипоследователь-ностями. Теорема 5 (Вейерштрасс). Для того чтобы неубывающая последовательность имела предел, необходимо и доста-точно, чтобы она была ограниченной сверху. Доказательство. То, что любая сходящаяся последова-тельность ограничена, было доказано при рассмотрении общихсвойств предела последовательности.Пусть {x_n} неубывающая последовательность ограниченная сверху. Тогда множество {x_n | n ∈ N} ограничено сверху.Согласно основной лемме это множество имеет верхнюю грань a = supx_n. По определению верхней грани для любогоε > 0 найдется элемент x_N∈ {x_n} такой, что a−ε <x_N a. Поскольку последовательность {x_n} неубывающая, то прилюбом n > N получаем a − ε <x_N x_n a, т.е. a − ε <x_n<a+ε или |x_n−a| < ε.

Поэтому _n=a.