Общие свойства предела функции и арифметические операции

Определение 3. Функция f: X → R называется финально постоянной при X x → x₀, если она постоянна в некоторой проколотой окрестности V_δ(x₀) точки x₀, предельной для множества X.

Определение 4. Функция f:X → R называется финально-ограниченной при X x → x₀ если существует V_δ(x₀), что

∀x∈V_δ(x₀) будет |f(x)| <M, где M> 0.

Теорема 8. а) Если y₀ предел функции f(x) при x → x₀, то f(x) финально ограничена при x → x₀;

б) Если f(x) финально постоянна при x → x₀ то она имеет предел в точке x₀;

в) Если f(x) в точке x₀ имеет предел, то этот предел единственный. Доказательство. Утверждение а) о финальной ограниченности функции имеющей предел и утверждение б) о наличии предела у финально постоянной функции, вытекает прямо из соответствующих определений. Докажем единственность предела.

Предположимпротивное, т.е. пустьвточкеx₀ функцияf(x) имеетдвапределаy0 иy1, иприэтомy₀ y₁, т.е.

y₀= ⇔∀ε> 0 ∃δ₁>0:∀x 0<|x − x₀|<δ₁⇒ |f(x) −y₀|< .

и

y₁= ⇔∀ε > 0 ∃δ₂>0:∀x 0<|x − x₀| <δ₂⇒|f(x) – y₁| < Тогда∀x ∈V_δ(x₀), где δ = min{δ₁, δ₂} имеем

0 |y₀ − y₁| |y₀ − f(x)| + |f(x) − y₁| < + что противоречит предположению.