![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Пусть функция f(x) определена в проколотой окрестности точки x0 т.е. на множествеVδ(x0)= {x: 0 < |x−x0| < δ}.В точке x0 значение f(x0) может быть не определено. Определение 1 (по Коши, или, на языке «ε − δ»). Число y0 называется пределом функции y = f(x) в точке x0 (или, при x → x0), если для любого ε > 0 можноуказать такое число δ = δ(ε) > 0, что при всех x, удовлетворяющих условию
0 < |x − x0| <δ, выполняетсянеравенство |f(x) − y0| <ε, или: y0= ⇔∀ε> 0 ∃δ> 0:∀x 0 < |x − x0| <δ⇒|f(x) − y0| <ε. В определении 1 используются понятия ε-окрестности и проколотой δ-окрестности. Если обозначить Vε(y0) = {y = f(x): |f(x) − y0| <ε},Vδ(x0) = {x: 0 < |x − x0| <δ}, то его кратко записывают еще в виде y0=
⇔∀ε> 0 ∃δ> 0∀x∈
δ(x0) ⇒f(x) ∈Vε(y0). Определение 2 (по Гейне, или, на языке последо-вательностей). Число y0 называется пределом функции y = f(x) в точке x0 (или, при x → x0), если для любой последовательноститочек xn∈Vδ(x0), сходящейся к x0, последовательность соответствующих значений функции f(xn) сходится к y0:y0=
⇔∀xn:
n=x0⇒
n )= y 0.
Св-ва: Определение 3. Функция f:X → R называется финально постоянной при X x → x0, если она постоянна в некоторой проколотой окрестностиVδ(x0) точки x0, предельной для множества X. Определение 4. Функция f:X → R называется финально-ограниченной при X
x → x0 если существуетVδ(x0), что
∀x∈ δ(x0) будет |f(x)| <M, где M> 0.
Теорема 8. а) Если y0 предел функции f(x) при x → x0, то f(x) финально ограничена при x → x0; б) Если f(x) финально постоянна при x → x0 то она имеет предел в точке x0; в) Если f(x) в точке x0 имеет предел, то этот предел единственный. Доказательство. Утверждение а) о финальной ограниченности функции имеющей предел и утверждение б) о наличии предела у финально постоянной функции, вытекает прямо из соответствующих определений. Докажем единственность предела. Предположим противное, т.е. пусть в точке x0 функция f(x) имеет два предела y0 и y1, и при этом y0 y1, т.е. y0=
⇔∀ε> 0 ∃δ1> 0:∀x 0 < |x − x0| < δ1⇒ |f(x) − y0| <
.и y1=
⇔∀ε> 0 ∃δ2> 0:∀x 0 < |x − x0| < δ2⇒ |f(x) – y1| <
.Тогда ∀x∈
δ(x0), где δ = min{δ1, δ2} имеем 0
|y0 − y1|
|y0 − f(x)| + |f(x) − y1| <
+
что противоречит предположению.
Неравенства. Пусть
n=a,
n=b Если существует номер N∈
такой, что при любом n>N:
Т.е. стоит заметить, что строгое неравенство в пределе может перейти в равенство, например, справедливо
Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 220 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!