![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Пример 1. Доказать справедливость неравенства (неравенство Я. Бернулли)
Решение. Докажем, основываясь на методе математической индукции.
1. При n = 1 утверждение, очевидно, справедливо.2. Предположим, что оно справедливо при n = k, т.е. верно (1 + α)k> 1 + kα.
3. Докажем, что оно справедливо при n = k+1.Действительно
Согласно методу математической индукции заключаем, что утверждение справедливо ∀n ∈ N.Рассмотрим последовательность {xn}, где
Покажем, что последовательность {yn}, где
убывающая. Действительно ∀n
2, находим
Очевидно, что все члены последова-тельности {yn} имеют положительные члены, а следова-тельно, согласно теоремеВейерштрасса, она имеет предел. Тогда
Определение 1. =е
20. Бесконечно малые и большие функции. Символы ~, о, О. Сравнение функций
Определение 1. Функция f(x) называется бесконечно малой функцией (или бесконечно малой) при x → x0 если =0 Определение 2. Функция f(x) называется бесконечно большой функцией (или бесконечно большой) при x → x0 если
=
Теорема 13. Если функция f(x) при x → x0 – бесконечно большая, то функция
при x → x0 – бесконечно малая. Если функция f(x) при x → x0 – бесконечно малая, то функция
при x → x0 – бесконечно большая. ]
Свойства бесконечно малых функций.
Теорема 14. Конечная сумма бесконечно малых функций при x → x0, есть функция, бесконечно малая при x → x0. Доказательство. Если αi(x), i = 1, n – бесконечно малые функции при x → x0, то
=0,i = 1, n
Теорема 15. Произведение бесконечно малой функции при x → x0 и функции, ограниченной в (x0), есть бесконечно малая функция при x → x0. Следствие1. Произведением некоторого числа и бесконечно малой функции при x → x0 есть бесконечно малаяфункция при x → x0. Теорема 16. Частное от деления бесконечно малой функции α(x) при x → x0 на
(x), такую, что
есть бесконечно малая функция при x → x0.
Доказательство. Так как α(x) – бесконечно малая функция, то
=0Тогда
где = C
0.
Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 274 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!