Точки разрыва функции

Определение 5. Функция f(x) называется непрерывной в точке x₀, если выполняются следующие три условия:

1) функция f(x) определена в точке x₀, т.е. x₀∈ D(f)

2) существует

3) =f(x₀)

Если в точке x₀ нарушено хотя бы одно из условий 1)-3), то функция называется разрывной в точке x₀, а точка x₀ - точкой разрыва.

Различают следующие случаи:

I) если условие 2) определения 5 выполнено и при этом x₀ D(f) или f(x₀) II) если условие 2) определения 5 нарушено, т.е. не существует но при этом существуют два конечных односторонних предела f(x) = f(x₀ -0), f(x) = f(x₀+0), не равные друг другу, то точка x₀ называется точкой разрыва первого рода, а разность f(x₀ + 0) − f(x₀ − 0) – скачком функции f(x) в точке x₀;

III) если хотя бы один из односторонних пределов равен + или − или вообще не существует, то точка x₀ называется точкой разрыва второго рода.Таким образом, при исследовании функции на непрерывность необходимо проверить выполнение условий определения 5. Если точка разрыва, то для установления характера разрыва необходимо вычислить односторонние пределы.