Критерий Коши существования предела числовой последоват

Определение 1. Последовательность {x_n} называется фундаментальной (или последовательностью Коши), если для любого числа ε > 0 найдется такой номер N ∈ N, что из n > N и m > N следует |x_n − x_m| < ε.

Теорема 4 (критерий Коши сходимости последовательности). Числовая последовательность сходится тогда и только тогда, когда она фундаментальна.

Док-во. Необходимость. Пусть _n=aТогда, согласноопределения, ε> 0 ∃N∈ : ∀l>N⇒ |x_l − a| < Еслитеперьm>Nиn>N, то |x_m − x_n| = |x_m − a + a − x_n| |x_m − a| + |x_n − a| < + = т.е. сходящаясяпоследовательностьфундаментальна.